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Artikel

Zusammenfassung

I Empirische Tatsache: Die 0 ist keine Zahl sondern repräsentiert „nichts“

Okt. 2022. Die 0 gilt heute in den Wissenschaften unbestritten als Zahl. Aber sie kennzeichnet eine leere Stelle in der Folge von Ziffern einer Stellenwertzahl. Diese empirische Tatsache bedingt notwendig die Bedeutung „nichts“ der Zahlen, d.h. „keine Zahl“. Drei Jahrtausende lang galt diese Feststellung. Im 16. Jahrhundert wurde sie aufgrund philosophischer und religiöser Vorbehalte gegen das metaphysische Nichts in das Gegenteil, „etwas“ und „Zahl“, verkehrt und dadurch das tertium non datur verletzt. Diese falsche rationalistische Definition wurde als Axiom festgelegt. Sie zeigt allerdings keine Auswirkungen auf die angewandte Mathematik, bewirkt aber Widersprüche der Mengenlehre. Die axiomatische Wiedereinführung des „nichts“ der 0 re-evolutioniert die Grundlagen der Mathematik.

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II Widersprüchlichkeit der transfinite Zahl ω und der Menge ℕ

April 2023. Über 2 Jahrtausende lang beherrschte Aristoteles' „infinitum actu non datur“, „ein begrenztes Unendliches gibt es nicht“, die Wahrnehmung des Unendlichen. Ende des 19. Jahrhunderts führte Georg Cantor mit seiner Mengenlehre das aktual Unendliche, Transfinite, mit dem Postulat von Grenzen, sogar Stufen im Unendlichen ein. Eine Grundlagenkrise der Mathematik war die Folge. Cantor's Lehre war nicht axiomatisch begründet. Das Axiomensystem von Zermelo und Fraenkel legitimierte das Transfinite dann formal. Die Krise gilt damit als bewältigt. Cantor's Lehre war zunächst hoch umstritten, setzte sich letztlich aber doch durch, sie bildet heute in der axiomatischen Form eine der Grundlagen der Mathematik. Im Folgenden wird gezeigt, daß sowohl die axiomatische als auch Cantor's Begründung der transfinite Zahl ω und der Menge ℕ der natürlichen Zahlen widersprüchlich sind. Die Grundlagenkrise besteht weiter fort. Die Wiedereinführung der wahren Bedeutung der 0, „nichts“ und „keine Zahl“, widerlegt die Existenz der transfiniten Terme.

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III Cantor's Fehler in seiner Lehre des Transfiniten

April 2023 Die Existenz des Transfiniten wird durch Artikel II widerlegt. Unter hypothetischer Annahme der Existenz wird Cantor's Werk überprüft. Die antagonistische Disparität von transfiniten Ordinal- und Kardinalzahlen wird widerlegt, die Kontinuumhypothese erweist sich als falsch. Die vorgebliche Gleichheit von Punktmengen extrem unterschiedlicher geometrischer Objekte, wie z.B. einer kleinen Strecke und eines n-dimensionalen Raumes, wird widerlegt. Das Paradoxon äquivalenter transfiniter Mengen und Teilmengen, das Euklid's 5. Axiom „Das Ganze ist größer als der Teil“ scheinbar außer Kraft setzt, wird aufgelöst. Euklid's Axiom bleibt gültig.

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IV Die Widersprüchlichkeit der leeren und der transfiniten Menge

April 2022. Der empirische Nachweis wird geführt, daß das Axiom, das die leere Menge fordert, der Realität widerspricht. Der Widerspruch zur Natur gilt auch für Cantor's Idee des Transfiniten, wie Hilbert eingeräumt hat. Leere und transfinite Menge gründen demgemäß auf rationalistischen Theorien, die der Empirie widersprechen, und deshalb notwendig falsch sind. Hilbert hat diesen Schluß aber nicht gezogen, sondern die mathematische Konsistenz des Transfiniten gefordert. Der formale Nachweis, daß die transfinite Menge nicht existiert, erfordert die Widerlegung des ZFC-Unendlichkeitsaxioms. Dieses setzt die leere Menge voraus, die gemäß empirischem Nachweis nicht existiert. Das Unendlichkeitsaxiom ist deshalb widersprüchlich. In Cantor's Lehre tritt die leere Menge nicht auf, ZFC steht im Widerspruch zu Cantor.

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V Erweiterung der Bedeutung von ∞ und Eliminierung der Widersprüche

Nov. 2022. Das Symbol ∞ wird nur dann umfassend verständlich, wenn eine Standardlänge vorausgesetzt wird. Das Axiom der Unendlichkeit definiert ∞ durch die potentiell unendliche Folge von Standard Längeneinheiten der Achse des Euklidischen Raumes. Wenn non-Standard Größen betrachtet werden, ergeben sich Anzahlen, die größer oder kleiner als ∞ sind. Das trifft auch für natürliche Zahlen zu, die durch Abbildung von Strecken generiert werden. Cantor setzte eine einzige transfinite Menge natürlicher Zahlen voraus, tatsächlich existieren sehr viele unbegrenzte unendliche Folgen dieser Zahlen.
Im Gegensatz zur bisherigen Theorie gelten konsistente Regeln, z.B. ∞ + n > ∞ und ∞ + ∞ = 2 ∞.

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VI Planck-Einheiten widerlegen konvergierende unendliche Folgen und Grenzwerte
Nur endliche konvergierende Folgen können begründet werden

Nov. 2022. Die irrationalen Zahlen sind als Grenzwerte potentiell unendlicher konvergierender Folgen rationaler Zahlen definiert, die unendliche Ziffernfolgen der irrationalen Zahlen bedingen. Reelle Zahlen können durch Abbildung von Strecken erzeugt werden. Die Unterteilung von Strecken ist allerdings durch die Planck-Länge begrenzt, woraus bei Abbildung auf reelle Zahlen nur endliche Stellenzahlen resultieren. Potentiell unendliche Folgen immer kleiner werdender Differenzen der Strecken und Zahlen sowie Grenzwerte können nicht mehr gerechtfertigt werden. An ihre Stelle treten limitierte, endliche Folgen und Stellenzahlen. Für die Analysis, die Differential- und der Integralrechnung, trifft dies ebenfalls zu. Auch hier bewirkt die Planck-Länge die Limitierung. Grenzwerte, Δ x → 0, n → ∞ und Infinitesimale treten nicht auf. Die Limitierung und Δx = 0, „nichts“, sind die entscheidenden Kriterien. In der Praxis wird notwendigerweis schon immer mit Limitierungs-Werten gerechnet, die Rechenoperation muß irgendwann abgebrochen werden. Potentiell unendliche Folgen und Grenzwerte sind irreale Ideen.

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VII Die Widerlegung der Unentscheidbarkeit von Gödel's Satz

Dez. 2022. Kurt Gödel konstruierte 1931 einen Satz der Theorie der natürlichen Zahlen für den weder ein Beweis noch eine Widerlegung existieren soll, obwohl er wahr ist. Die wahre Bedeutung der 0, „nichts“, eröffnet neue Möglichkeiten der Beweisführung. Sätze über „nicht-Existenz“ lassen sich durch äquivalente Sätze über „nichts“ beweisen. Durch „nichts“ der Beweisführung wird Gödels Satz, der auf der „nicht-Existenz“ seines Beweises beruht, bewiesen und entschieden. Die Theorie der natürlichen Zahlen ist vollständig, unvollständig ist das Axiomensystem das Gödel voraussetzte. Durch das Axiom des „nichts“ der Beweistheorie wird es vervollständigt.

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VIII Fiktion der Bedeutungslosigkeit der Syntax der mathematischen Logik

Dez. 2022. David Hilbert sah einen „völlig befriedigenden Weg“, den Antinomien der Mengenlehre zu entkommen. Er fordert durch seinen Formalismus die Bedeutungslosigkeit der Syntax der mathematischen Logik. Die Semantik soll dann nur widerspruchsfreie Interpretationen erlauben. Der Überblick über die syntaktischen Zeichen, Formeln und Regeln zeigt, daß die Interpretation bereits inhärent ist. Die angebliche Bedeutungslosigkeit ist eine irreale Fiktion, die auch nicht vor Inkonsistenz schützte.

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IX Nichts, „Nichts“, nichts und „nichts“

Dez. 2022. Die Verwirrung um die Bedeutung von 'Nichts' bei Groß- oder Kleinschreibung, mit oder ohne Anführungszeichen, wird in dem vorliegenden Artikel aufgelöst. Im Widerspruch zur wahren Bedeutung „nichts“ sind gegenwärtig die 0 als „Zahl“ ²  und Ø als „leere Menge“³ definiert. Das impliziert das falsche Postulat transfiniter Zahlen und Mengen. Zudem beraubte die Verbannung des „nichts“, die im 16. Jahrhundert einsetzte, die Mathematik einer entscheidenden Beweismöglichkeit. Äquivalente Sätze über „nichts“ und „nicht-Existenz“ beweisen sich gegenseitig. Die „nicht-Existenz“ eines Beweises wird durch die Existenz des „nichts” der Beweistheorie bewiesen. Diese Aussage führt zum Beweis von Gödels angeblich nicht beweisbarem Satz und zur Aufhebung der Unvollständigkeitssätze. Δx = 0, „nichts“, wird als entscheidendes Kriterium einer revidierten Analysis, d.h. der Differential- und Integralrechnung, nachgewiesen. Philosophischer und mathematischer Platonismus werden durch Nichts, „Nichts“, nichts und „nichts” widerlegt. Die Wiedereinführung des „nichts“ re-evolutioniert die Grundlagen der Mathematik.

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X Auflösung der Antinomien

Zunächst wird der Unterschied zwischen Antinomien und Paradoxien definiert, der in der Literatur nicht klar abgegrenzt ist. Als Antinomien werden Widersprüche bezeichnet, die nicht auflösbar sind ( bzw. scheinen). Das Paradoxon ist nur scheinbar widersprüchlich und läßt sich logisch erklären. Tatsächlich gibt es in der Natur keine Antinomien, sondern nur widersprüchliche Erklä- rungsversuche des Menschen. Der Grund der scheinbaren Widersprüchlichkeit läßt sich aufdecken und beseitigen, nur Paradoxien existieren. Antinomien sind scheinlogische Denkfehler. Im Folgenden werden nur die 'Antinomien' diskutiert, die in der Mathematik eine entscheidende Rolle gespielt haben bzw. immer noch spielen.

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XI Krise des Denkens der Theoretiker der Grundlagen der Mathematik

April 2022. Eine angeblich konsistente Theorie des Transfiniten wird als Teil der Grundlagen der Mathematik postuliert, obwohl bereits vor einem Jahrhundert bestätigt wurde, daß sie im Widerspruch zur Realität steht. Dieses Denken der Grundlagentheoretiker verletzt die Kriterien der Wissenschaftlichkeit. Eine Theorie, die der Wirklichkeit widerspricht, ist notwendig und nachweisbar falsch. Die leere Menge, die zur Begründung des Tansfiniten postuliert wird, scheitert an der Realität. Auch das Beharren auf der unendlichen Unterteilung im Widerspruch zu Planck, die Fiktion der Bedeutungslosigkeit der Syntax der mathematischen Logik, die nicht erfolgte Auflösung der Antinomien und die Weigerung, die Widerlegung der Unvollständigkeitssätze Gödel's wahrzunehmen, belegen eine Störung des Denkens. Die vor dem 20. Jahrhundert aufgebrochene jahrzehntelange Grundlagenkrise der Mathematik wurde durch die Maßnahmen zu ihrer Überwindung nicht bewältigt, sondern verschärft.

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XII Krise und reEvolution der Grundlagen der Mathematik

Die Antinomien und paradoxen Eigenschaften der Mengenlehre Georg Cantors führten Ende des 19. Jahrhunderts zur Grundlagenkrise der Mathematik. Durch das Axiomensystem von Zermelo und Fraenkel, ZFC, sollten widerspruchsfreie Grundlagen geschaffen werden.
Die Mathematiker und Logiker gehen mit großer Mehrheit davon aus, daß dies gelungen sei. In dem Buch „Nichts“ wird nachgewiesen, daß entscheidende Grundlagen auf metaphysische Annahmen zurückgehen, die im Widerspruch zur Realität stehen und deshalb falsch sind. Die Krise wurde durch ZFC nicht bewältigt, sondern vertieft.
Der Autor zählt auch Gödels Forderung der Unvollständigkeit der Theorie der natürlichen Zahlen sowie das Postulat, die Syntax der mathematischen Logik sei bedeutungslos, zu den Krisen- symptomen.
Die phänomenale Entwicklung der angewandten wie auch der reinen Mathematik ist davon allerdings nicht betroffen. Eine adäquate Evolution der Grundlagen hat jedoch nicht stattgefunden, die Verbannung des „nichts“ aus Mathematik und Logik steht damit in enger Verbindung.
Die Fehler der gegenwärtigen Grundlagen und ihre Bereinigung werden in der folgenden Zusam- menfassung der Artikel I - XI aufgezeigt:

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