Thematik

Eine Grundlagenkrise der Mathematik zu diagnostizieren, wie der Autor sie in dem Buch „Nichts“, Krise und reEvolution der Grundlagen der Mathematik, feststellt, erscheint auf den ersten Blick sehr fragwürdig. Die Mathematik erzielt großartige Erfolge bei der Beschreibung der Natur und die reine Mathematik, die sich von der Realität gelöst hat, leistet Bewundernswertes. Auch bei der Formulierung der Grundlagen der Mathematik, den Axiomen der Mengenlehre und der mathematischen Logik, stand die Realität nicht im Mittelpunkt, das erweist sich als Grund einer fundamentalen Krise. Denn Mengenlehre und Logik müssen nicht nur abstrakten Größen genügen, sondern auch „Äpfeln, Birnen und Aprikosen“, wie zurecht festgestellt wurde.

Georg Cantor hatte seine, noch nicht axiomatisch gegründete, Mengenlehre Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt. Zentral war dabei eine neue Auffassung des Unendlichen, des Transfiniten, wie Cantor es nannte. Dabei traten Antinomien auf, die eine Grundlagenkrise der Mathematik auslösten, die Mengenlehre wurde deshalb anschließend auf Axiome gegründet. Im Vordergrund stand die Widerspruchsfreiheit durch Vermeidung der Antinomien. Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel entwickelten das Axiomensystem ZFC, das diese Bedingungen erfüllen sollte.

David Hilbert stellte allerdings fest, daß das Transfinite „weder in der Natur vorhanden noch als Grundlage unseres verstandesmäßigen Denkens zulässig“ sei. Er nahm aber eine „Idee .... die alle Erfahrung übersteigt“, wahr und einen „vollständigen Kalkül“, d.h. eine widerspruchsfreie Theorie. Dem muß entgegengehalten werden, daß eine Theorie, die der Realität widerspricht, notwendig falsch sein muß. Die Grundlagenkrise wurde nicht überwunden, sie besteht weiter fort.

In den Artikeln werden Schwerpunkte der Thematik vorgestellt. Die Widersprüchlichkeit der Argumentation Cantors wie auch der Axiome der Mengenlehre gehören zu den Themen dieser Website. Nicht nur das „Transfinite“, sondern auch die „Zahl 0“, die „leere Menge“ und die „unendliche Unterteilung“ mit konvergierenden unendlichen Folgen und Grenzwerten stehen im Widerspruch zur Realität. In den Grundlagen der Mathematik ist es nicht gelungen, den Gegensatz von Rationalismus und Empirismus zu überwinden, den Immanuel Kant aufgelöst hat. Aber auch die mathematische Logik zeigt Probleme. Die behauptete Bedeutungslosigkeit der syntaktischen Zeichen und Formeln ist nicht haltbar.

Der Logiker Kurt Gödel fordert zudem mit seinen Unvollständigkeitssätzen eine fundamentale Einschränkung der Beweisführung. Er konstruiert Sätze, die weder beweisbar noch widerlegbar, also unentscheidbar, aber nachweisbar wahr sind. Auch weitere Axiome sollen die Unentscheidbarkeit nicht beheben können. Diese Aussage Gödels wird widerlegt, die Unvollständigkeitssätze werden aufgehoben.

Der Ausgangspunkt der Krise liegt lange zurück. Im 16. Jahrhundert wurde die wahre Bedeutung der 0, „nichts“ der Zahlen, d.h. „keine Zahl“, widersprüchlich in das Gegenteil, „etwas“ und „Zahl“, verkehrt. Vorbehalte gegen das metaphysische Nichts in Philosophie und christlicher Religion waren dafür verantwortlich, daß das „nichts“ der Mathematik verdrängt wurde. Tatsächlich spielt es unerkannt eine signifikante Rolle, wie demonstriert wird.
Widerspruchsfreie Axiome in Übereinstimmung mit der Realität werden formuliert.